极限证明，左限存在时|x-x0|<δ时,f(x)-A<ε，而右极限存在时|x-x0|<δ时,A-f(x)<ε

按照严格的极限定义证明如下

证明

x趋于x0时f(x)极限存在等价于，对于任意给出的一个正数ε，总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε会成立

左极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时,f(x)-A<ε

右极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时,A-f(x)<ε

所以左右极限都存在时，总存在一个正数δ，使得当x满足

|x-x0|<δ时

-ε<f(x)-A<ε

即|f(x)-A|<ε

所以

函数f(x)当x->x0时极限存在的充要条件是左极限,右极限均存在并相等
左极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足 |x-x0|<δ时,为什么 f(x)-A<ε
右极限存在即总存在一个正数δ，使得当x满足 |x-x0|<δ时,为什么 A-f(x)<ε

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